Можно ли просто «забить» и никуда по военкоматам не ходить после прописки?

Если вам военный билет не нужен (он понадобится при устройстве на работу, например), вы можете его не получать. Максимальное наказание, которое вам грозит на данный момент - штраф за несоблюдение ваших обязанностей по воинскому учету - штраф 100-500 рублей. Это как на сегодня. Лично я советую сделать вам военный билет, тем более 1 апреля на носу - весенний призыв. Запросто получите военный билет с записью "не служил" и категорией годности "А", если ничем не больны. С системой надо общаться письменно. "Устно ходить" не надо - глупое занятие.